Determine a solução da equação de Laplace no retângulo
satisfazendo as condições de contorno
e
, em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de Laplace no retângulo definido por
. A equação de Laplace é usada para encontrar funções harmônicas, que aparecem em várias áreas como física e engenharia. Aqui, nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz as seguintes condições de contorno:
-
-
, onde:
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a separação de variáveis, assumindo que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma de
e outra de
:
Substituindo na equação de Laplace
, obtemos:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos leva a duas equações separadas iguais a uma constante negativa
:
Passo 3
Resolveremos a equação para
primeiro:
Com as condições de contorno
, buscamos soluções não-triviais. As soluções são senos com:
Então, as funções próprias para
são:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação para
:
Substituindo
:
A solução geral dessa equação é:
Como
, temos
:
Passo 5
Assim, a solução geral é uma série de termos para cada
:
Precisamos determinar os coeficientes
usando a condição de contorno
:
Passo 6
Para encontrar
, usamos a expansão em série de Fourier da função
em termos de senos:
Dividimos a integral em duas partes, de 0 a 1 e de 1 a 2, devido à definição de
:
Calculando essas integrais, obtemos os coeficientes
.
Passo 7
Finalmente, a solução da equação de Laplace é dada pela série que já montamos:
Resposta
A solução da equação de Laplace no retângulo
com as condições de contorno dadas é:
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Simplifique
Resolva as seguintes integrais
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