Determine a solução da equação de Laplace no retângulo satisfazendo as condições de contorno e , em que

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de Laplace no retângulo definido por . A equação de Laplace é usada para encontrar funções harmônicas, que aparecem em várias áreas como física e engenharia. Aqui, nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz as seguintes condições de contorno:
  • , onde:
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma de e outra de :
Substituindo na equação de Laplace , obtemos:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a duas equações separadas iguais a uma constante negativa :

Passo 3

Resolveremos a equação para primeiro:
Com as condições de contorno , buscamos soluções não-triviais. As soluções são senos com:
Então, as funções próprias para são:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação para :
Substituindo :
A solução geral dessa equação é:
Como , temos :

Passo 5

Assim, a solução geral é uma série de termos para cada :
Precisamos determinar os coeficientes usando a condição de contorno :

Passo 6

Para encontrar , usamos a expansão em série de Fourier da função em termos de senos:
Dividimos a integral em duas partes, de 0 a 1 e de 1 a 2, devido à definição de :
Calculando essas integrais, obtemos os coeficientes .

Passo 7

Finalmente, a solução da equação de Laplace é dada pela série que já montamos:

Resposta

A solução da equação de Laplace no retângulo com as condições de contorno dadas é:

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