Mostre que os planos alpha: 2 x+y-z=1, beta: 3 x-y-z+2=0 e gamma: 4 x-2 y+z-3=0 concorrem em um único ponto e determine-o.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos três planos definidos pelas seguintes equações:
  • Plano α:
  • Plano β: (que podemos reescrever como )
  • Plano γ: (que podemos reescrever como )
O objetivo é mostrar que esses três planos se intersectam em um único ponto e descobrir as coordenadas desse ponto. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por essas três equações.

Passo 2

Vamos começar resolvendo o sistema de equações. Primeiro, escrevemos as três equações de forma simplificada:
  1.    (Equação 1)
  2.    (Equação 2)
  3.    (Equação 3)
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação para resolver o sistema. Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis de duas das equações para simplificar o sistema.
Vamos eliminar (2x + y - z) + (3x - y - z) = 1 + (-2) das Equações 1 e 2:
  • Equação 1: 5x - 2z = -1 (Equação 4)
  • Equação 2:
Somando as duas equações, será eliminado:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar 2(2x + y - z) + (4x - 2y + z) = 2(1) + 3 das Equações 1 e 3:
  • Equação 1: 4x + 2y - 2z + 4x - 2y + z = 2 + 3
  • Equação 3: 8x - z = 5 (Equação 5)
Para eliminar , multiplicamos a Equação 1 por 2 e somamos com a Equação 3:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
  • Equação 4: 8x - z = 5 Rightarrow z = 8x - 5
  • Equação 5: 5x - 2(8x - 5) = -1
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 5x - 16x + 10 = -1 e -11x + 10 = -1 .
Primeiro, vamos isolar -11x = -11 na Equação 5:
x = 1
Agora, substituímos na Equação 4:

Passo 6

Com o valor de z = 8x - 5 = 8(1) - 5 = 8 - 5 = 3 , podemos encontrar 2x + y - z = 1 usando a expressão que encontramos anteriormente:
2(1) + y - 3 = 1
Agora, temos 2 + y - 3 = 1 e y - 1 = 1 . Vamos encontrar y = 2 usando a Equação 1:

Resposta

Os três planos α, β e γ concorrem no único ponto .

Exercícios relacionados