Mostre que os planos
e
concorrem em um único ponto e determine-o.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos três planos definidos pelas seguintes equações:
- Plano α:
- Plano β:
(que podemos reescrever como ) - Plano γ:
(que podemos reescrever como )
O objetivo é mostrar que esses três planos se intersectam em um único ponto e descobrir as coordenadas desse ponto. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por essas três equações.
Passo 2
Vamos começar resolvendo o sistema de equações. Primeiro, escrevemos as três equações de forma simplificada:
-
(Equação 1) -
(Equação 2) -
(Equação 3)
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que satisfazem todas as três equações simultaneamente.
Passo 3
Vamos usar o método de eliminação para resolver o sistema. Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis de duas das equações para simplificar o sistema.
Vamos eliminar
das Equações 1 e 2:
- Equação 1:
- Equação 2:
Somando as duas equações,
será eliminado:
Passo 4
Agora, vamos eliminar
das Equações 1 e 3:
- Equação 1:
- Equação 3:
Para eliminar
, multiplicamos a Equação 1 por 2 e somamos com a Equação 3:
Passo 5
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
- Equação 4:
- Equação 5:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, vamos isolar
na Equação 5:
Agora, substituímos
na Equação 4:
Passo 6
Com o valor de
, podemos encontrar
usando a expressão que encontramos anteriormente:
Agora, temos
e
. Vamos encontrar
usando a Equação 1:
Resposta
Os três planos α, β e γ concorrem no único ponto
.
Exercícios relacionados
Determine a solução da equação de Riccati
.
Reescreva cada vetor
dado na forma
, em que
é o versor de
.
Determine os vetores
e
, tais que
Resolva a equação de Bernoulli
.