Mostre que os planos e concorrem em um único ponto e determine-o.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos três planos definidos pelas seguintes equações:
  • Plano α:
  • Plano β: (que podemos reescrever como )
  • Plano γ: (que podemos reescrever como )
O objetivo é mostrar que esses três planos se intersectam em um único ponto e descobrir as coordenadas desse ponto. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por essas três equações.

Passo 2

Vamos começar resolvendo o sistema de equações. Primeiro, escrevemos as três equações de forma simplificada:
  1.    (Equação 1)
  2.    (Equação 2)
  3.    (Equação 3)
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação para resolver o sistema. Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis de duas das equações para simplificar o sistema.
Vamos eliminar das Equações 1 e 2:
  • Equação 1:
  • Equação 2:
Somando as duas equações, será eliminado:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar das Equações 1 e 3:
  • Equação 1:
  • Equação 3:
Para eliminar , multiplicamos a Equação 1 por 2 e somamos com a Equação 3:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
  • Equação 4:
  • Equação 5:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Primeiro, vamos isolar na Equação 5:
Agora, substituímos na Equação 4:

Passo 6

Com o valor de , podemos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:
Agora, temos e . Vamos encontrar usando a Equação 1:

Resposta

Os três planos α, β e γ concorrem no único ponto .

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Reescreva cada vetor dado na forma , em que é o versor de .
Determine os vetores e , tais que
Resolva a equação de Bernoulli .