Sejam
vetores de
. Mostre que o conjunto
é
se, e somente se,
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano,
e
. A questão quer que a gente mostre que o conjunto desses vetores,
, é linearmente dependente (que vou chamar de L.D.) se, e somente se, a condição
é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como determinar se dois vetores são lineares ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente dependentes. Dois vetores são linearmente dependentes se um for um múltiplo escalar do outro. Em outras palavras, existe um número
tal que
ou vice-versa.
Passo 3
Vamos escrever isso matematicamente. Se
é um múltiplo escalar de
, então:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, queremos eliminar o
para encontrar uma relação entre
,
,
e
. Podemos resolver a primeira equação para
:
E a segunda equação para
também:
Passo 5
Como ambos são iguais a
, podemos igualar as duas expressões:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar em cruz para simplificar:
Resposta
Portanto, o conjunto
é linearmente dependente se, e somente se,
.
Exercícios relacionados
Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela aos planos
e
, e concorrente com as retas re s, sendo
Sejam
e w vetores de um espaço
. Se
é um conjunto
, mostre que:
(a) é um conjunto
.
(b) é um conjunto
.
(a)
(b)
Determine a solução para a equação:
.
Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida:
(a)
(a)