Sejam u=(a, b), v=(c, d) vetores de R^2. Mostre que o conjunto u, v é L D se, e somente se, a d=b c.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano, u = (a, b) e v = (c, d). A questão quer que a gente mostre que o conjunto desses vetores, u, v, é linearmente dependente (que vou chamar de L.D.) se, e somente se, a condição a d = b c é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como determinar se dois vetores são lineares ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente dependentes. Dois vetores são linearmente dependentes se um for um múltiplo escalar do outro. Em outras palavras, existe um número lambda tal que u = lambda v ou vice-versa.

Passo 3

Vamos escrever isso matematicamente. Se u é um múltiplo escalar de v, então:
(a, b) = lambda (c, d)
Isso significa que:
a = lambda c e b = lambda d

Passo 4

Agora, queremos eliminar o lambda para encontrar uma relação entre a, b, c e d. Podemos resolver a primeira equação para lambda:
lambda = ac
E a segunda equação para lambda também:
lambda = bd

Passo 5

Como ambos são iguais a lambda, podemos igualar as duas expressões:
ac = bd

Passo 6

Agora, vamos multiplicar em cruz para simplificar:
a cdot d = b cdot c

Resposta

Portanto, o conjunto u, v é linearmente dependente se, e somente se, a d = b c.

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