Sejam vetores de . Mostre que o conjunto é se, e somente se, .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano, e . A questão quer que a gente mostre que o conjunto desses vetores, , é linearmente dependente (que vou chamar de L.D.) se, e somente se, a condição é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como determinar se dois vetores são lineares ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente dependentes. Dois vetores são linearmente dependentes se um for um múltiplo escalar do outro. Em outras palavras, existe um número tal que ou vice-versa.

Passo 3

Vamos escrever isso matematicamente. Se é um múltiplo escalar de , então:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, queremos eliminar o para encontrar uma relação entre , , e . Podemos resolver a primeira equação para :
E a segunda equação para também:

Passo 5

Como ambos são iguais a , podemos igualar as duas expressões:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar em cruz para simplificar:

Resposta

Portanto, o conjunto é linearmente dependente se, e somente se, .

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Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela aos planos e , e concorrente com as retas re s, sendo
Sejam e w vetores de um espaço . Se é um conjunto , mostre que:
(a) é um conjunto .
(b) é um conjunto .
Determine a solução para a equação: .
Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida:
(a)