Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela aos planos e , e concorrente com as retas re s, sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria vetorial onde precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta t. Essa reta t precisa ser paralela aos planos α e β, e também deve ser concorrente com as retas r e s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, planos e retas no espaço. Vamos precisar entender como determinar a direção de uma reta que é paralela a dois planos e como ela pode se relacionar com outras retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser paralela a dois planos. Se uma reta é paralela a um plano, o vetor direção dessa reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Os vetores normais dos planos α e β são os coeficientes das variáveis na equação geral do plano.
Para o plano α:
O vetor normal é:
Para o plano β:
nbeta = 1 4 2
O vetor normal é:
Passo 3
Queremos que a reta t seja paralela a ambos os planos, ou seja, seu vetor direção d = nalpha times nbeta deve ser perpendicular a d = 1 2 1 times 1 4 2 = (2 cdot 2 - 1 cdot 4) (1 cdot 1 - 1 cdot 2) (1 cdot 4 - 2 cdot 1) = 4 - 4 1 - 2 4 - 2 = 0 -1 2 e d = 0 -1 2 . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, podemos calcular o produto vetorial dos vetores normais dos planos.
Vamos calcular isso:
Então, o vetor direção da reta t é:
Passo 4
Agora, precisamos que a reta t seja concorrente com as retas r e s. Isso significa que t deve intersectar ambas as retas ou compartilhar pontos com elas. Vamos verificar as equações das retas r e s para encontrar um ponto em comum.
A reta r é dada por:
r: x - 21 = y-2 = z + 11
Podemos escrever a parametrização da reta r como:
x = 2 + t y = -2t z = -1 + t
A reta s é dada pelo sistema:
x + 2y - z = 3 x - 2y + z + 1 = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar a parametrização da reta s.
Passo 5
Vamos resolver o sistema para encontrar a parametrização da reta s.
Primeiro, da segunda equação:
x - 2y + z + 1 = 0
Podemos isolar x = 2y - z - 1 :
(2y - z - 1) + 2y - z = 3
Substituindo 4y - 2z - 1 = 3 na primeira equação:
4y - 2z = 4
2y - z = 2
z = 2y - 2
y = t
z = 2t - 2
Agora, podemos escolher um parâmetro, digamos x = 2t - (2t - 2) - 1 = 2t - 2t + 2 - 1 = 1 , para x = 1 y = t z = 2t - 2 :
Então:
E de :
Então, a parametrização da reta s é:
Passo 6
Agora que temos as parametrizações das retas r e s, precisamos encontrar um ponto que seja comum a t e s. Vamos assumir que a reta t passa por um ponto x = 1 y = 1 z = 2(1) - 2 = 0 que está na reta s. Podemos escolher qualquer valor de P = (1, 1, 0) para encontrar esse ponto.
Por exemplo, vamos escolher :
Então, o ponto é:
Passo 7
Agora, sabemos que a reta t passa pelo ponto 0 -1 2 e tem o vetor direção r(t) = P + t d .
Podemos escrever a equação vetorial da reta t como: