Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela aos planos e , e concorrente com as retas re s, sendo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria vetorial onde precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta t. Essa reta t precisa ser paralela aos planos α e β, e também deve ser concorrente com as retas r e s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, planos e retas no espaço. Vamos precisar entender como determinar a direção de uma reta que é paralela a dois planos e como ela pode se relacionar com outras retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser paralela a dois planos. Se uma reta é paralela a um plano, o vetor direção dessa reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Os vetores normais dos planos α e β são os coeficientes das variáveis na equação geral do plano.
Para o plano α:
O vetor normal é:
Para o plano β:
O vetor normal é:

Passo 3

Queremos que a reta t seja paralela a ambos os planos, ou seja, seu vetor direção deve ser perpendicular a e . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, podemos calcular o produto vetorial dos vetores normais dos planos.
Vamos calcular isso:
Então, o vetor direção da reta t é:

Passo 4

Agora, precisamos que a reta t seja concorrente com as retas r e s. Isso significa que t deve intersectar ambas as retas ou compartilhar pontos com elas. Vamos verificar as equações das retas r e s para encontrar um ponto em comum.
A reta r é dada por:
Podemos escrever a parametrização da reta r como:
A reta s é dada pelo sistema:
Vamos resolver esse sistema para encontrar a parametrização da reta s.

Passo 5

Vamos resolver o sistema para encontrar a parametrização da reta s.
Primeiro, da segunda equação:
Podemos isolar :
Substituindo na primeira equação:
Agora, podemos escolher um parâmetro, digamos , para :
Então:
E de :
Então, a parametrização da reta s é:

Passo 6

Agora que temos as parametrizações das retas r e s, precisamos encontrar um ponto que seja comum a t e s. Vamos assumir que a reta t passa por um ponto que está na reta s. Podemos escolher qualquer valor de para encontrar esse ponto.
Por exemplo, vamos escolher :
Então, o ponto é:

Passo 7

Agora, sabemos que a reta t passa pelo ponto e tem o vetor direção .
Podemos escrever a equação vetorial da reta t como:
Onde é o vetor posição do ponto e é o parâmetro.
Substituindo:

Resposta

A equação vetorial da reta t é:

Exercícios relacionados

Sejam e w vetores de um espaço . Se é um conjunto , mostre que:
(a) é um conjunto .
(b) é um conjunto .
Obtenha equações gerais para os planos descritos abaixo:
a) passa por e e é paralelo ao vetor .
b) passa por e e é paralelo ao segmento , onde e .
c) passa pelos pontos e .
d) passa pelos pontos e .
Sejam vetores de . Mostre que o conjunto é se, e somente se, .
Determine a solução para a equação: .