Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem. O enunciado nos dá a equação
e as condições iniciais
e
. Vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação de diferença. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos fatorar a equação:
Então, as raízes são:
Passo 4
Como temos duas raízes distintas
e
, a solução geral da equação de diferença é uma combinação linear dessas soluções:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar usando as condi��ões iniciais.
Passo 5
Vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo o primeiro para
:
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos na solução geral:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
Exercícios relacionados
Seja
, com
. Prove que
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
lembrando que sen
Seja f uma função diferenciável qualquer e considere
. Mostre que
satisfaz a equação diferencial parcial
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: