Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem. O enunciado nos dá a equação e as condições iniciais e . Vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação de diferença. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos fatorar a equação:
Então, as raízes são:

Passo 4

Como temos duas raízes distintas e , a solução geral da equação de diferença é uma combinação linear dessas soluções:
Aqui, e são constantes que precisamos determinar usando as condi��ões iniciais.

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para :
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo o primeiro para :
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 6

Agora que temos e , substituímos na solução geral:

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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