Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
lembrando que sen
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Isso está relacionado ao estudo de sequências numéricas onde cada termo depende dos anteriores. Para resolver, vamos precisar usar a teoria das equações características e trabalhar com números complexos.
Passo 2
Primeiro, a gente forma a equação característica associada à equação de diferença. Substituímos
por
, o que nos dá:
Dividindo tudo por
(assumindo
), fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, a gente viu que a raiz tem parte imaginária porque o discriminante é negativo.
Passo 4
Com raízes complexas, a gente expressa
como
, então:
Podemos escrever essas raízes na forma
, onde
e
.
Passo 5
Para escrever a solução geral, usamos a fórmula para raízes complexas:
Onde
. Calculando:
Resposta
A solução geral da equação é: