Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 : lembrando que sen

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Isso está relacionado ao estudo de sequências numéricas onde cada termo depende dos anteriores. Para resolver, vamos precisar usar a teoria das equações características e trabalhar com números complexos.

Passo 2

Primeiro, a gente forma a equação característica associada à equação de diferença. Substituímos por , o que nos dá:
Dividindo tudo por (assumindo ), fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, a gente viu que a raiz tem parte imaginária porque o discriminante é negativo.

Passo 4

Com raízes complexas, a gente expressa como , então:
Podemos escrever essas raízes na forma , onde e .

Passo 5

Para escrever a solução geral, usamos a fórmula para raízes complexas:
Onde . Calculando:

Resposta

A solução geral da equação é:

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Verifique se a função é uma solução da equação diferencial parcial
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Seja , com . Prove que
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: