Seja
, com
. Prove que
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que
, onde
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de derivadas parciais, especificamente a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, usando a regra da cadeia:
Sabendo que
, temos:
Então:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão que precisamos provar:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Está provado!
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
lembrando que sen
Verifique se a função
é uma solução da equação diferencial parcial
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Seja f uma função diferenciável qualquer e considere
. Mostre que
satisfaz a equação diferencial parcial