Seja , com . Prove que

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que , onde . A matéria que vamos usar aqui é cálculo de derivadas parciais, especificamente a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a regra da cadeia, temos:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Novamente, usando a regra da cadeia:
Sabendo que , temos:
Então:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão que precisamos provar:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Resposta

Portanto, mostramos que:
Está provado!

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Seja f uma função diferenciável qualquer e considere . Mostre que satisfaz a equação diferencial parcial