Seja z=f(u), com u=x+a y^2. Prove que partial zpartial y-2 a y cdot partial zpartial x=0

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que , onde . A matéria que vamos usar aqui é cálculo de derivadas parciais, especificamente a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = d fd u cdot partial upartial x em relação a partial upartial x = 1 . Usando a regra da cadeia, temos:
partial zpartial x = f'(u) cdot 1 = f'(u)
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = d fd u cdot partial upartial y em relação a partial upartial y = 2 a y . Novamente, usando a regra da cadeia:
partial zpartial y = f'(u) cdot 2 a y = 2 a y f'(u)
Sabendo que , temos:
Então:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão que precisamos provar:
partial zpartial y - 2 a y cdot partial zpartial x
Substituindo as derivadas que calculamos:
2 a y f'(u) - 2 a y cdot f'(u) = 0

Resposta

Portanto, mostramos que:
partial zpartial y - 2 a y cdot partial zpartial x = 0
Está provado!

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