Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
E as condições iniciais são
e
. Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação, ou seja, uma fórmula que nos diga o valor de
para qualquer
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa “equação de diferença linear homogênea de segunda ordem”. Isso quer dizer que a diferença entre termos consecutivos da sequência
depende linearmente dos dois termos anteriores, e não há termos independentes (por isso é homogênea).
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, usamos o que chamamos de “equação característica”. Ela é obtida substituindo
por
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Então, substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por
(e assumindo
):
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é:
Calculamos o discriminante
:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla, ou seja, uma única solução repetida.
Passo 5
Com a raiz dupla, a fórmula geral da solução é:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais, e
é a raiz encontrada.
Sabemos que
, já que
.
Então, a solução fica:
Passo 6
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Segundo, para
:
Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, a solução da equação é:
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