Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
E as condições iniciais são e . Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação, ou seja, uma fórmula que nos diga o valor de para qualquer .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “equação de diferença linear homogênea de segunda ordem”. Isso quer dizer que a diferença entre termos consecutivos da sequência depende linearmente dos dois termos anteriores, e não há termos independentes (por isso é homogênea).

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, usamos o que chamamos de “equação característica”. Ela é obtida substituindo por , onde é uma constante que vamos determinar.
Então, substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por (e assumindo ):

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de . A equação é:
Calculamos o discriminante :
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla, ou seja, uma única solução repetida.

Passo 5

Com a raiz dupla, a fórmula geral da solução é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais, e é a raiz encontrada.
Sabemos que , já que .
Então, a solução fica:

Passo 6

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .
Segundo, para :
Resolvendo para :

Resposta

Portanto, a solução da equação é:

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