Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações de Diferenças. Para resolvê-la, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e usar essas raízes para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica da equação de diferença. Fazemos isso substituindo por , onde é uma constante. Então, substituímos na equação:
Dividindo todos os termos por (assumindo ):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática característica:
Para resolver uma equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão números complexos.

Passo 5

Agora, encontramos as raízes complexas:
Então, as raízes são:

Passo 6

Com raízes complexas da forma , onde e , a solução geral da equação de diferença é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:

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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: