Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações de Diferenças. Para resolvê-la, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e usar essas raízes para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a equação característica da equação de diferença. Fazemos isso substituindo
por
, onde
é uma constante. Então, substituímos na equação:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática característica:
Para resolver uma equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão números complexos.
Passo 5
Agora, encontramos as raízes complexas:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com raízes complexas da forma
, onde
e
, a solução geral da equação de diferença é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação é:
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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: