Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral de uma equação de diferença linear homogênea com coeficientes constantes de segunda ordem, que é dada por:
Isso significa que cada termo da sequência depende dos dois termos anteriores, e os coeficientes (neste caso, 1 para
e 5 para
) são constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A regra geral para uma equação de segunda ordem como a nossa é substituir
por
. Então, para nossa equação:
Essa é a equação que precisamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Aqui, temos uma raiz quadrada de um número negativo, o que nos leva aos números complexos.
Passo 4
Como
, onde
é a unidade imaginária (
), nossos valores de
são:
Essas raízes complexas indicam que a solução geral da equação de diferença terá termos envolvendo funções trigonométricas, graças à relação com os números complexos.
Passo 5
Para equações de diferença com raízes complexas
, a solução geral é dada por:
No nosso caso,
e
. Então, aplicando a fórmula:
Podemos simplificar isso usando fórmulas de Euler para expressar os termos complexos em termos de senos e cossenos.
Passo 6
Usando a fórmula de Euler, temos:
Somando os dois termos, os componentes imaginários se cancelam, e ficamos apenas com os cossenos.
Passo 7
Portanto, a solução geral fica:
Onde
e
são constantes que são determinadas pelas condições iniciais da sequência.
Resposta
A solução geral da equação de diferença
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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