Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral de uma equação de diferença linear homogênea com coeficientes constantes de segunda ordem, que é dada por:
Isso significa que cada termo da sequência depende dos dois termos anteriores, e os coeficientes (neste caso, 1 para e 5 para ) são constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A regra geral para uma equação de segunda ordem como a nossa é substituir por . Então, para nossa equação:
Essa é a equação que precisamos resolver para encontrar os valores de .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Aqui, temos uma raiz quadrada de um número negativo, o que nos leva aos números complexos.

Passo 4

Como , onde é a unidade imaginária ( ), nossos valores de são:
Essas raízes complexas indicam que a solução geral da equação de diferença terá termos envolvendo funções trigonométricas, graças à relação com os números complexos.

Passo 5

Para equações de diferença com raízes complexas , a solução geral é dada por:
No nosso caso, e . Então, aplicando a fórmula:
Podemos simplificar isso usando fórmulas de Euler para expressar os termos complexos em termos de senos e cossenos.

Passo 6

Usando a fórmula de Euler, temos:
Somando os dois termos, os componentes imaginários se cancelam, e ficamos apenas com os cossenos.

Passo 7

Portanto, a solução geral fica:
Onde e são constantes que são determinadas pelas condições iniciais da sequência.

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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