Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
Isso significa que cada termo futuro da sequência depende dos dois termos anteriores. Para resolver, vamos precisar entender equações de diferença, equações características e condições iniciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação de diferença. Para isso, substituímos
na equação:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Como a equação característica tem uma raiz dupla (
com multiplicidade 2), a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
- Para
:
Então,
.
- Para
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na solução geral:
Podemos simplificar:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
ou, de forma simplificada,
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Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo
para (1,0), em seguida ao longo de um segmento de reta até
, e então de volta à origem ao longo do eixo
.
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: