Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
Isso significa que cada termo futuro da sequência depende dos dois termos anteriores. Para resolver, vamos precisar entender equações de diferença, equações características e condições iniciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação de diferença. Para isso, substituímos na equação:
Dividindo todos os termos por (assumindo ):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dupla ( com multiplicidade 2), a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
  1. Para :
Então, .
  1. Para :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:
Podemos simplificar:

Resposta

A solução da equação de diferença é:
ou, de forma simplificada,

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Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo para (1,0), em seguida ao longo de um segmento de reta até , e então de volta à origem ao longo do eixo .
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: