Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
. A gente precisa encontrar a solução dessa equação que também satisfaz as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações de recorrência e suas soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação de diferença. Isso é feito substituindo
na equação original. Assim, temos:
Dividindo todos os termos por
, obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa equação. Podemos fatorar:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação de diferença é uma combinação linear das potências dessas raízes:
Aqui,
e
são constantes que a gente precisa determinar usando as condiç��es iniciais.
Passo 5
Vamos usar a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição inicial
. Substituindo
:
Sabendo que
, substituímos:
Então,
.
Resposta
A solução da equação de diferença é:
Exercícios relacionados
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução das equações de diferença
com condições iniciais
e
, e determine
.