Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: y_{n+2} + y_{n} = 0, y_{0} = -1, y_{1} = 2

Passo 1

Vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem dada por , com as condições iniciais e . Para isso, vamos utilizar conceitos de equações de recorrência e encontrar a solução geral que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica da equação de diferença. Para uma equação da forma , substituímos por para obter a equação característica:

Passo 3

Resolvemos a equação característica:
Os valores e são raízes complexas. Isso indica que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 4

A solução geral para raízes complexas é dada por:
No nosso caso, (pois corresponde a ).
Então, a solução geral fica:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os valores das constantes e .
Para :
Para :

Passo 6

Com os valores de e encontrados, substituímos na solução geral:

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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