Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo para (1,0), em seguida ao longo de um segmento de reta até , e então de volta à origem ao longo do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o trabalho realizado por uma força quando uma partícula se move em um caminho específico: da origem até o ponto (1,0) pelo eixo , depois para (0,1) por uma reta, e finalmente de volta à origem pelo eixo .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha (que é o que precisamos para calcular o trabalho) em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo caminho. Isso facilita bastante a conta!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui, . No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença é:
Passo 4
Agora, precisamos identificar a região sobre a qual vamos integrar. O caminho forma um triângulo com vértices na origem , em e em .
Para descrever a região , podemos resolver a equação da reta que vai de até . A equação dessa reta é .
Então, os limites de integração serão:
vai de 0 a 1
Para cada , vai de 0 a
Passo 5
Vamos montar a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando:
Agora, integramos isso em relação a :
Substituindo :
Resposta
O trabalho realizado pela força ao mover a partícula no caminho descrito é unidades de trabalho.