Determine a solução das equações de diferença com condições iniciais e , e determine .

Passo 1

Então, temos uma equação de diferença com condições iniciais e . Vamos resolver essa equação de diferença para encontrar uma fórmula geral para e, especificamente, calcular . Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações lineares de recorrência e características das equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação de diferença. É uma equação que relaciona termos consecutivos de uma sequência. No nosso caso, a equação relaciona , e . Para resolver, vamos assumir que a solução tem a forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação de diferença, temos:
Dividindo todos os termos por (assumindo ), obtemos a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:

Passo 5

As raízes complexas têm a forma , onde e . A solução geral da equação de diferença é então:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 6

Podemos reescrever a solução geral usando a identidade de Euler:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 7

Primeira condição: quando ,
Então, .

Passo 8

Segunda condição: quando ,
Resolvendo para :

Passo 9

Agora, temos a solução geral específica:
Para encontrar , substituímos por 2001 na expressão acima.

Resposta

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