Determine a solução das equações de diferença
com condições iniciais
e
, e determine
.
Passo 1
Então, temos uma equação de diferença
com condições iniciais
e
. Vamos resolver essa equação de diferença para encontrar uma fórmula geral para
e, especificamente, calcular
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações lineares de recorrência e características das equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação de diferença. É uma equação que relaciona termos consecutivos de uma sequência. No nosso caso, a equação relaciona
,
e
. Para resolver, vamos assumir que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação de diferença, temos:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
), obtemos a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Passo 5
As raízes complexas têm a forma
, onde
e
. A solução geral da equação de diferença é então:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 6
Podemos reescrever a solução geral usando a identidade de Euler:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 7
Primeira condição: quando
,
Então,
.
Passo 8
Segunda condição: quando
,
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, temos a solução geral específica:
Para encontrar
, substituímos
por 2001 na expressão acima.
Resposta
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