Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de diferença linear de segunda ordem:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações de diferença, que são como as equações diferenciais, mas no caso discreto, trabalhando com índices como
em vez de variáveis contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a equação em parte homogênea e parte particular. A parte homogênea é a equação sem o termo constante, ou seja:
Essa é a equação que vamos resolver primeiro para encontrar a solução homogênea.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea
, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por
(e assumindo
):
Resolvendo a equação característica:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular constante, ou seja,
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então precisamos tentar outra forma. Vamos supor uma solução particular que dependa de
, por exemplo,
.
Passo 6
Substituindo
na equação:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
e
são constantes.
Exercícios relacionados
Determine a solução das equações de diferença
com condições iniciais
e
, e determine
.
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros: