Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
. A gente precisa achar uma solução que satisfaça as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações de recorrência desse tipo, que envolvem encontrar uma fórmula que nos dá qualquer termo da sequência a partir dos anteriores.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica dessa recorrência. Isso ajuda a simplificar a busca pela solução geral. A equação característica para uma recorrência de segunda ordem como essa é obtida substituindo
na equação original:
Dividindo todos os termos por
(desde que
):
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática
para encontrar os valores de
:
Onde
,
, e
. Calculando:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da recorrência é uma combinação linear dessas raízes elevadas a
:
Simplificando, já que
:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. Sabemos que:
- Para
:
- Para
:
Temos agora um sistema de duas equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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