Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem: . A gente precisa achar uma solução que satisfaça as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar entender como resolver equações de recorrência desse tipo, que envolvem encontrar uma fórmula que nos dá qualquer termo da sequência a partir dos anteriores.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica dessa recorrência. Isso ajuda a simplificar a busca pela solução geral. A equação característica para uma recorrência de segunda ordem como essa é obtida substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por (desde que ):

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Onde , , e . Calculando:
Então, temos duas raízes reais e distintas:

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da recorrência é uma combinação linear dessas raízes elevadas a :
Simplificando, já que :

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de e . Sabemos que:
  • Para :
  • Para :
Temos agora um sistema de duas equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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