Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a solução geral de uma equação de diferença linear homogênea com coeficientes constantes de segunda ordem:
Isso significa que queremos encontrar uma expressão que descreva todos os possíveis valores de que satisfazem essa equação para qualquer valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com equações de recorrência lineares e utilizar a equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, precisamos configurar a equação característica correspondente à nossa equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como a nossa:
A equação característica é obtida substituindo por , onde é uma constante. Então, temos:
Podemos dividir todos os termos por (desde que ):
Então, a equação característica é:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é aplicável para qualquer equação quadrática da forma :
No nosso caso, , e . Substituindo esses valores na fórmula:
Como a raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos, podemos escrever:
Então, as soluções são:

Passo 4

Com raízes complexas, a solução geral da equação de diferença assume a forma:
Onde é o módulo das raízes complexas e é o argumento (ou ângulo). Para as raízes que encontramos:
Aqui,
E , mas como estamos trabalhando com soluções gerais, podemos incorporar esses valores diretamente na solução.

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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