Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a solução geral de uma equação de diferença linear homogênea com coeficientes constantes de segunda ordem:
Isso significa que queremos encontrar uma expressão que descreva todos os possíveis valores de
que satisfazem essa equação para qualquer valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com equações de recorrência lineares e utilizar a equação característica para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, precisamos configurar a equação característica correspondente à nossa equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como a nossa:
A equação característica é obtida substituindo
por
, onde
é uma constante. Então, temos:
Podemos dividir todos os termos por
(desde que
):
Então, a equação característica é:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é aplicável para qualquer equação quadrática da forma
:
No nosso caso,
,
e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Como a raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos, podemos escrever:
Então, as soluções são:
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da equação de diferença assume a forma:
Onde
é o módulo das raízes complexas e
é o argumento (ou ângulo). Para as raízes que encontramos:
Aqui,
E
, mas como estamos trabalhando com soluções gerais, podemos incorporar esses valores diretamente na solução.
Resposta
A solução geral da equação de diferença
é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
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