Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma equação de diferença linear homogênea com coeficientes constantes de segunda ordem dada por:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar a teoria das equações de recorrência e encontrar e resolver a equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Como nossa equação é de segunda ordem e envolve e , não temos o termo . Então, a equação permanece:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, vamos supor que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo essa suposição na equação, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por (supondo que ):
Essa é a nossa equação característica.

Passo 5

Resolvendo a equação característica para :

Passo 6

Com as raízes encontradas ( e ), a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação de diferença dada é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: