Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma equação de diferença linear homogênea com coeficientes constantes de segunda ordem dada por:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar a teoria das equações de recorrência e encontrar e resolver a equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Como nossa equação é de segunda ordem e envolve
e
, não temos o termo
. Então, a equação permanece:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo essa suposição na equação, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(supondo que
):
Essa é a nossa equação característica.
Passo 5
Resolvendo a equação característica para
:
Passo 6
Com as raízes encontradas (
e
), a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação de diferença dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas: