Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Primeiro, vamos entender que uma equação de diferença serve pra encontrar uma sequência que satisfaz essa relação. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula característica, que nos ajuda a encontrar os termos gerais da solução.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação de diferença. Isso é feito substituindo por . Então, temos:
Dividindo tudo por (assumindo ):

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas:

Passo 4

Com as raízes complexas , a solução geral da equação de diferença é:
Mas podemos escrever de forma mais amigável usando fórmulas de exponenciais complexas, resultando em:
Onde é determinado a partir das raízes.

Passo 5

Para simplificar, reconhecemos que a forma completa, considerando as raízes complexas, é:
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 6

Aplicando :
E :

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Simplificando:
Então, e . Logo, .

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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Seja
Determine todos os pontos em que é contínua.
O valor de é
( )
( )
( )
( )
( )
O valor de é
( )
( ) 0
( )
( )
( )
Desenhe as superfícies de nível da função dada: