Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. Primeiro, vamos entender que uma equação de diferença serve pra encontrar uma sequência que satisfaz essa relação. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula característica, que nos ajuda a encontrar os termos gerais da solução.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação de diferença. Isso é feito substituindo
por
. Então, temos:
Dividindo tudo por
(assumindo
):
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas:
Passo 4
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação de diferença é:
Mas podemos escrever de forma mais amigável usando fórmulas de exponenciais complexas, resultando em:
Onde
é determinado a partir das raízes.
Passo 5
Para simplificar, reconhecemos que a forma completa, considerando as raízes complexas, é:
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 6
Aplicando
:
E
:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Simplificando:
Então,
e
. Logo,
.
Resposta
A solução da equação de diferença é:
Exercícios relacionados
Seja
Determine todos os pontos em que
é contínua.
O valor de
é
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
O valor de
é
( )
( ) 0
( )
( )
( )
( )
( ) 0
( )
( )
( )
Desenhe as superfícies de nível da função
dada: