O valor de integral0^pi sin ^3 x cos ^2 x d x é
( ) -1raiz2
( ) 0
( ) 12
( ) 415
( ) raiz315

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar técnicas de substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que sin^3 x = sin x (1 - cos^2 x) pode ser escrita como integral0^pi sin^3 x cos^2 x , dx = integral0^pi sin x (1 - cos^2 x) cos^2 x , dx . E sabemos também que . Então:
Substituindo isso na integral:

Passo 3

Agora, vamos distribuir integral0^pi sin x cos^2 x , dx - integral0^pi sin x cos^4 x , dx :
Essas duas integrais podem ser resolvidas usando substituição. Vamos considerar , então , ou seja, .

Passo 4

Para a primeira integral:
integral0^pi sin x cos^2 x , dx = -integral1^-1 u^2 , du = integral-1^1 u^2 , du
Calculando:
integral-1^1 u^2 , du = [ u^33 ]-1^1 = 13 - ( (-1)^33 ) = 13 + 13 = 23
Para a segunda integral:
integral0^pi sin x cos^4 x , dx = -integral1^-1 u^4 , du = integral-1^1 u^4 , du
Calculando:
integral-1^1 u^4 , du = [ u^55 ]-1^1 = 15 - ( (-1)^55 ) = 15 + 15 = 25

Passo 5

Agora, voltando às integrais originais:
integral0^pi sin^3 x cos^2 x , dx = 23 - 25 = 1015 - 615 = 415

Resposta

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