Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de diferença linear de primeira ordem que é
com a condição inicial
. Para isso, vamos usar dois métodos: coeficientes a determinar e variação dos parâmetros. Vamos precisar entender um pouco sobre equações de recorrência e como resolver elas passo a passo.
Passo 2
Método dos Coeficientes a Determinar
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito não tem o termo constante. Na nossa equação, a parte homogênea é
.
Para resolver isso, assumimos que a solução é da forma
, onde
é uma constante e
é a razão. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o termo constante é 2, vamos supor que a solução particular
é constante, ou seja,
.
Substituindo na equação:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial
:
Então, a solução final é:
Resposta
A solução da equação de diferença é
.