Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de diferença linear de primeira ordem que é com a condição inicial . Para isso, vamos usar dois métodos: coeficientes a determinar e variação dos parâmetros. Vamos precisar entender um pouco sobre equações de recorrência e como resolver elas passo a passo.

Passo 2

Método dos Coeficientes a Determinar
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito não tem o termo constante. Na nossa equação, a parte homogênea é .
Para resolver isso, assumimos que a solução é da forma , onde é uma constante e é a razão. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o termo constante é 2, vamos supor que a solução particular é constante, ou seja, .
Substituindo na equação:
Resolvendo para :
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Para encontrar o valor de , usamos a condição inicial :
Então, a solução final é:

Resposta

A solução da equação de diferença é .

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Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
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