Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença de segunda ordem:
. Isso faz parte do conteúdo de equações de diferença lineares. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por
(e assumindo
):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinaremos com condições iniciais (se houver).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor uma solução particular também na forma de polinômio:
onde
,
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Substituindo
na equação original:
Vamos expandir e simplificar cada termo:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando mais:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Para
:
Isso significa que nossa suposição inicial para
está na forma da solução homogênea. Então, precisamos multiplicar nossa tentativa por
:
Passo 9
Vamos tentar novamente com
. Substituindo na equação original:
Expandindo e simplificando (o cálculo é longo, mas seguindo os mesmos passos de antes), finalmente obtemos os valores de
,
e
:
Passo 10
Assim, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
A resistência R, em ohms, de um circuito é dada por
, onde I é a corrente em amperes e E é a força eletromotriz em volts. Num instante, quando
e I
aumenta numa velocidade
e I diminui a velocidade de
. Encontre a taxa de variação instantânea de R
sigaa.ifsc.edu.br
sigaa.ifsc.edu.br
seja
uma função diferenciável, onde
. Mostre que
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros: