Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença de segunda ordem: . Isso faz parte do conteúdo de equações de diferença lineares. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por (e assumindo ):

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinaremos com condições iniciais (se houver).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor uma solução particular também na forma de polinômio:
onde , e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Substituindo na equação original:
Vamos expandir e simplificar cada termo:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando mais:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Para :
Isso significa que nossa suposição inicial para está na forma da solução homogênea. Então, precisamos multiplicar nossa tentativa por :

Passo 9

Vamos tentar novamente com . Substituindo na equação original:
Expandindo e simplificando (o cálculo é longo, mas seguindo os mesmos passos de antes), finalmente obtemos os valores de , e :

Passo 10

Assim, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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seja uma função diferenciável, onde . Mostre que
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