Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de primeira ordem: com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui são as equações de diferença lineares, e vamos resolver pelo método dos coeficientes a determinar e pelo método da variação dos parâmetros. Precisamos entender um pouco sobre soluções gerais e particulares para essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Esse método é legal porque assume que a solução particular tem uma forma parecida com a parte não homogênea da equação. Olhando para a nossa equação, a parte não homogênea é , então vamos supor que a solução particular tem a forma de um polinômio de segundo grau:
Aqui, , e são coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos substituir na equação original. Primeiro, calculamos :
Substituindo na equação de diferença:
Expandindo o lado direito:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de : ⇒ Como , temos
  • Coeficiente de : ⇒ Substituindo e , temos
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Essa é uma equação de diferenças com coeficientes variáveis, então vamos resolver usando a fórmula de solução para equações lineares de primeira ordem. A solução geral da equação homogênea é:
Onde é uma constante.

Passo 5

A solução geral da equação de diferença original é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que :

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: