Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de primeira ordem:
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui são as equações de diferença lineares, e vamos resolver pelo método dos coeficientes a determinar e pelo método da variação dos parâmetros. Precisamos entender um pouco sobre soluções gerais e particulares para essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Esse método é legal porque assume que a solução particular tem uma forma parecida com a parte não homogênea da equação. Olhando para a nossa equação, a parte não homogênea é
, então vamos supor que a solução particular
tem a forma de um polinômio de segundo grau:
Aqui,
,
e
são coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação original. Primeiro, calculamos
:
Substituindo na equação de diferença:
Expandindo o lado direito:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes:
- Coeficiente de
: ⇒ - Coeficiente de
: ⇒ Como , temos ⇒ - Coeficiente de
: ⇒ Substituindo e , temos ⇒
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Essa é uma equação de diferenças com coeficientes variáveis, então vamos resolver usando a fórmula de solução para equações lineares de primeira ordem. A solução geral da equação homogênea é:
Onde
é uma constante.
Passo 5
A solução geral da equação de diferença original é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que
:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: