A resistência R, em ohms, de um circuito é dada por
, onde I é a corrente em amperes e E é a força eletromotriz em volts. Num instante, quando
e I
aumenta numa velocidade
e I diminui a velocidade de
. Encontre a taxa de variação instantânea de R
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um circuito elétrico onde a resistência
é dada pela fórmula
. Aqui,
é a força eletromotriz em volts (V) e
é a corrente em amperes (A). No problema, a força eletromotriz está aumentando a uma certa velocidade, e a corrente está diminuindo também a uma certa velocidade. Nosso objetivo é descobrir como a resistência
está mudando naquele instante específico. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente derivadas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar uma expressão para a taxa de variação de
em relação ao tempo, ou seja,
. Sabemos que
, então vamos derivar essa expressão em relação ao tempo
.
A derivada de
em relação a
é:
Para derivar uma divisão, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
Aqui,
e
. Então, aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que foram dados no problema:
-
-
-
(a força eletromotriz está aumentando) -
(a corrente está diminuindo)
Substituindo esses valores na nossa expressão para
:
Vamos calcular passo a passo:
- Multiplicando
:
- Multiplicando
:
Mas temos um sinal negativo na frente, então:
- Somando os dois resultados:
- Calculando
:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A taxa de variação instantânea da resistência
é:
Isso significa que, naquele instante, a resistência está aumentando a uma taxa de aproximadamente
ohms por segundo.
Exercícios relacionados
seja
uma função diferenciável, onde
. Mostre que
Considere a equação
Determine a solução geral.
Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros: