A resistência R, em ohms, de um circuito é dada por , onde I é a corrente em amperes e E é a força eletromotriz em volts. Num instante, quando e I aumenta numa velocidade e I diminui a velocidade de . Encontre a taxa de variação instantânea de R
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Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um circuito elétrico onde a resistência é dada pela fórmula . Aqui, é a força eletromotriz em volts (V) e é a corrente em amperes (A). No problema, a força eletromotriz está aumentando a uma certa velocidade, e a corrente está diminuindo também a uma certa velocidade. Nosso objetivo é descobrir como a resistência está mudando naquele instante específico. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente derivadas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar uma expressão para a taxa de variação de em relação ao tempo, ou seja, . Sabemos que , então vamos derivar essa expressão em relação ao tempo .
A derivada de em relação a é:
Para derivar uma divisão, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
Aqui, e . Então, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que foram dados no problema:
  • (a força eletromotriz está aumentando)
  • (a corrente está diminuindo)
Substituindo esses valores na nossa expressão para :
Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicando :
  1. Multiplicando :
Mas temos um sinal negativo na frente, então:
  1. Somando os dois resultados:
  1. Calculando :
Então, substituindo de volta:

Resposta

A taxa de variação instantânea da resistência é:
Isso significa que, naquele instante, a resistência está aumentando a uma taxa de aproximadamente ohms por segundo.

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seja uma função diferenciável, onde . Mostre que
Considere a equação Determine a solução geral.
Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros: