Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear de primeira ordem que você me mandou:
Aqui, estamos trabalhando com equações de diferença lineares, que são como as equações diferenciais, mas para sequências. Vamos usar dois métodos para resolver isso: coeficientes a determinar e variação dos parâmetros. Para isso, precisamos entender como lidar com a parte homogênea e a parte não homogênea da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Essa é uma equação linear homogênea de primeira ordem. A solução geral dessa equação pode ser encontrada assumindo que . Vamos substituir isso na equação:
Dividindo ambos os lados por (com ):
Então, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, é uma constante que vamos determinar mais tarde usando a condição inicial.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Usando o método dos coeficientes a determinar, assumimos que a solução particular é uma constante, ou seja, , onde é uma constante a ser encontrada.
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo na solução geral:

Resposta

Portanto, a solução da equação de diferença é:

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