Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação de diferença linear de segunda ordem. Isso significa que temos uma relação que liga termos consecutivos de uma sequência . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções homogêneas e particulares dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Nossa meta é encontrar todos os possíveis valores de que satisfazem essa relação para qualquer .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, que é a parte da equação sem o termo constante (no caso, o 1):
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que vamos determinar.

Passo 4

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por (assumindo ), obtemos a equação característica:

Passo 5

Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então,
Resultando nas raízes:

Passo 6

Como temos duas raízes distintas e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Observando que o termo constante é 1, tentamos uma solução constante, ou seja, , onde é uma constante.
Substituindo na equação original:

Passo 8

Finalmente, juntando a solução homog��nea com a solução particular, a solução geral da equação é:
onde e são constantes que podem ser encontradas se forem dadas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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