Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação de diferença linear de segunda ordem. Isso significa que temos uma relação que liga termos consecutivos de uma sequência
. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções homogêneas e particulares dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Nossa meta é encontrar todos os possíveis valores de
que satisfazem essa relação para qualquer
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, que é a parte da equação sem o termo constante (no caso, o 1):
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 4
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
), obtemos a equação característica:
Passo 5
Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então,
Resultando nas raízes:
Passo 6
Como temos duas raízes distintas
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Observando que o termo constante é 1, tentamos uma solução constante, ou seja,
, onde
é uma constante.
Substituindo na equação original:
Passo 8
Finalmente, juntando a solução homog��nea com a solução particular, a solução geral da equação é:
onde
e
são constantes que podem ser encontradas se forem dadas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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Determine a solução das equações de diferença
com condições iniciais
e
, e determine
.
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1 usando os métodos: coeficientes de determinar e variação dos parâmetros:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: