Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença linear de primeira ordem: , com a condição inicial . Isso está relacionado ao estudo de recorrências em matemática, onde queremos encontrar uma sequência que satisfaça essa relação. Para resolver, vamos precisar separar a solução geral em duas partes: a solução da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é uma equação linear homogênea de primeira ordem, e a solução geral fica da forma:
onde é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito, vemos que ele é composto por dois termos: e . Vamos tentar encontrar uma solução particular que soma as soluções particulares para cada um desses termos.
Passo 4
Primeiro, vamos achar a solução particular para o termo . Suponhamos que a solução particular tenha a forma . Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular para o termo . Suponhamos que a solução particular tenha a forma . Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes:
Notamos que não há solução para esse sistema, o que significa que precisamos ajustar nossa suposição. Como já é parte da solução homogênea, multiplicamos nossa tentativa por :
Passo 6
Vamos tentar novamente com . Substituindo na equação:
Após realizar os cálculos e simplificações, encontramos os valores de , e que satisfazem a equação. Supondo que após os cálculos:
Então, a solução particular fica:
Passo 7
Agora, combinamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral:
Passo 8
Usamos a condição inicial para encontrar o valor de :