onde
, e é claramente o análogo de uma equação diferencial linear de
ordem (com coeficientes constantes). O método de resolução da equação
imita o método de resolução de equações diferenciais lineares de
ordem visto em aula. Supondo que as raízes
e
do polinômio
são reais, temos que
- se
, então
;
- se
, então
.
(Obs.: Podemos também considerar raízes complexas, de modo parecido com o que fizemos para equações diferenciais de
ordem.)
Usando o método acima:
a) resolva
e compare com o exercício 4;
(Obs.: Podemos também considerar raízes complexas, de modo parecido com o que fizemos para equações diferenciais de
Usando o método acima:
a) resolva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação de recorrência
usando um método que é parecido com o que aprendemos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral para essa equação, descobrindo os valores de
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais familiar:
Essa é uma equação de recorrência linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, a gente geralmente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação, temos:
Podemos dividir todos os termos por
(considerando que
):
Essa é a equação característica da nossa recorrência.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica:
Fatorando:
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Como temos duas raízes distintas
, a solução geral da equação de recorrência é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Simplificando a expressão, sabemos que
para todo
. Então:
Ou seja:
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais.