a y(t+2) + b y(t+1) + c y(t) = d
onde a, b, c, d in R, e é claramente o análogo de uma equação diferencial linear de 2^a ordem (com coeficientes constantes). O método de resolução da equação ay(t+2) + by(t+1) + cy(t) = d imita o método de resolução de equações diferenciais lineares de 2^a ordem visto em aula. Supondo que as raízes r1 e r2 do polinômio p(r) = a r^2 + b r + c são reais, temos que
  • se r1 != r2, então yt = A1 r1^t + A2 r2^t;
  • se r = r1 = r2, então y_t = A_1 r^t + A_2 t r^t.
    (Obs.: Podemos também considerar raízes complexas, de modo parecido com o que fizemos para equações diferenciais de 2^a ordem.)
    Usando o método acima:
    a) resolva y(t+2) - 2y(t+1) = 0 e compare com o exercício 4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação de recorrência usando um método que é parecido com o que aprendemos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral para essa equação, descobrindo os valores de em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais familiar:
Essa é uma equação de recorrência linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, a gente geralmente assume que a solução tem a forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação, temos:
Podemos dividir todos os termos por (considerando que ):
Essa é a equação característica da nossa recorrência.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica:
Fatorando:
Portanto, as raízes são:

Passo 5

Como temos duas raízes distintas , a solução geral da equação de recorrência é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Simplificando a expressão, sabemos que para todo . Então:
Ou seja:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante determinada pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados