Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Isso significa que queremos descobrir uma fórmula que descreva todos os possíveis valores de
que satisfazem essa equação para qualquer
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações de diferença lineares e como encontrar suas soluções usando valores característicos.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma de uma progressão geométrica, ou seja:
Onde
é uma constante que precisamos determinar. Essa é uma suposição comum porque facilita a resolução da equação.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação original:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Passo 4
Essa equação
é chamada de equação característica. Vamos resolvê-la para encontrar os valores de
:
Passo 5
Encontramos dois valores distintos para
: 3 e -3. Isso significa que as soluções básicas da equação são
e
.
Como a equação é de segunda ordem, a solução geral será uma combinação linear dessas soluções básicas. Ou seja:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais (valores de
e
, por exemplo).
Resposta
A solução geral da equação de diferença
é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
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considerando que
: