Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Isso significa que queremos descobrir uma fórmula que descreva todos os possíveis valores de que satisfazem essa equação para qualquer . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações de diferença lineares e como encontrar suas soluções usando valores característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma de uma progressão geométrica, ou seja:
Onde é uma constante que precisamos determinar. Essa é uma suposição comum porque facilita a resolução da equação.

Passo 3

Agora, vamos substituir na equação original:
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por (desde que ):

Passo 4

Essa equação é chamada de equação característica. Vamos resolvê-la para encontrar os valores de :

Passo 5

Encontramos dois valores distintos para : 3 e -3. Isso significa que as soluções básicas da equação são e .
Como a equação é de segunda ordem, a solução geral será uma combinação linear dessas soluções básicas. Ou seja:
Onde e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais (valores de e , por exemplo).

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

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