Resolva as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Essa é uma equação linear com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) e de uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar e entender como resolver equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, encontramos as raízes:
Temos uma raiz real dupla
.
Passo 4
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, supomos uma solução da forma
. Note que
já está na solução homogênea, então multiplicamos por
para evitar duplicação.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Isso nos mostra que nossa suposição inicial não funciona. Então, devemos tentar uma solução particular de uma forma diferente.
Passo 8
Vamos então supor uma solução particular da forma
.
Calculando as derivadas:
Passo 9
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 10
Agora, igualando os coeficientes:
Passo 11
Então, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Instrução: Y = último algarismo do seu número de matrícula. Caso termine com zero use o penúltimo algarismo.
a)
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: