Resolva as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Essa é uma equação linear com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e de uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar e entender como resolver equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática , encontramos as raízes:
Temos uma raiz real dupla .

Passo 4

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , supomos uma solução da forma . Note que já está na solução homogênea, então multiplicamos por para evitar duplicação.

Passo 6

Calculando as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Isso nos mostra que nossa suposição inicial não funciona. Então, devemos tentar uma solução particular de uma forma diferente.

Passo 8

Vamos então supor uma solução particular da forma .
Calculando as derivadas:

Passo 9

Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 10

Agora, igualando os coeficientes:

Passo 11

Então, a solução particular é:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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