Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para resolver uma equação de diferença. Isso faz parte de matemática discreta, que estuda sequências e recursões. A equação que temos é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar isolar
em termos de
e depois encontrar uma expressão geral para
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
sozinho. A equação original é:
Subtraindo
de ambos os lados, ficamos com:
Ou seja, podemos simplificar:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar os primeiros termos da sequência e tentar identificar um padrão. Sabemos que
.
Vamos calcular
:
Passo 4
Continuando, vamos calcular
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Vamos calcular mais um termo para ver se aparece algum padrão. Calculando
:
Percebemos que
e
, além de que
. Parece que a sequência está oscilando entre 1 e 2 após o segundo termo.
Passo 6
Com base nos cálculos acima, podemos conjecturar que a solução da equação de diferença estabiliza entre os valores 1 e 2 a partir de
. Portanto, a solução geral da sequência
é:
Resposta
A solução das equações de diferença, com a condição inicial dada, é: