Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para resolver uma equação de diferença. Isso faz parte de matemática discreta, que estuda sequências e recursões. A equação que temos é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar isolar em termos de e depois encontrar uma expressão geral para .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar sozinho. A equação original é:
Subtraindo de ambos os lados, ficamos com:
Ou seja, podemos simplificar:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar os primeiros termos da sequência e tentar identificar um padrão. Sabemos que .
Vamos calcular :
Passo 4
Continuando, vamos calcular :
Agora, calculando :
Passo 5
Vamos calcular mais um termo para ver se aparece algum padrão. Calculando :
Percebemos que e , além de que . Parece que a sequência está oscilando entre 1 e 2 após o segundo termo.
Passo 6
Com base nos cálculos acima, podemos conjecturar que a solução da equação de diferença estabiliza entre os valores 1 e 2 a partir de . Portanto, a solução geral da sequência é:
Resposta
A solução das equações de diferença, com a condição inicial dada, é: