Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para resolver uma equação de diferença. Isso faz parte de matemática discreta, que estuda sequências e recursões. A equação que temos é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar isolar em termos de e depois encontrar uma expressão geral para .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar sozinho. A equação original é:
Subtraindo de ambos os lados, ficamos com:
Ou seja, podemos simplificar:

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar os primeiros termos da sequência e tentar identificar um padrão. Sabemos que .
Vamos calcular :

Passo 4

Continuando, vamos calcular :
Agora, calculando :

Passo 5

Vamos calcular mais um termo para ver se aparece algum padrão. Calculando :
Percebemos que e , além de que . Parece que a sequência está oscilando entre 1 e 2 após o segundo termo.

Passo 6

Com base nos cálculos acima, podemos conjecturar que a solução da equação de diferença estabiliza entre os valores 1 e 2 a partir de . Portanto, a solução geral da sequência é:
í

Resposta

A solução das equações de diferença, com a condição inicial dada, é:
í

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