Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas: y_{n+1} - (n+1) y_{n} = 0, y_{0} = 2

Passo 1

Então, a gente tem uma equação de diferença que é assim: com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos diga qual é para qualquer . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de recorrência linear e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar: . Isso significa que cada termo depende do termo anterior multiplicado por . É uma sequência que cresce de acordo com essa regra.

Passo 3

Agora, vamos ver como os primeiros termos se comportam usando a condição inicial :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…

Passo 4

Percebemos que cada termo está sendo multiplicado pelo próximo número inteiro. Isso lembra a definição de fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Ou seja, .

Passo 5

Com isso em mente, podemos generalizar a solução da nossa equação. Observamos que cada termo é igual a multiplicado por . Portanto, a fórmula geral fica:

Passo 6

Aplicando a condição inicial , substituímos na fórmula:

Resposta

A solução da equação de diferença é .

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