Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação de diferença que é assim:
com a condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos diga qual é
para qualquer
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de recorrência linear e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar:
. Isso significa que cada termo depende do termo anterior multiplicado por
. É uma sequência que cresce de acordo com essa regra.
Passo 3
Agora, vamos ver como os primeiros termos se comportam usando a condição inicial
:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Passo 4
Percebemos que cada termo está sendo multiplicado pelo próximo número inteiro. Isso lembra a definição de fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Ou seja,
.
Passo 5
Com isso em mente, podemos generalizar a solução da nossa equação. Observamos que cada termo
é igual a
multiplicado por
. Portanto, a fórmula geral fica:
Passo 6
Aplicando a condição inicial
, substituímos na fórmula:
Resposta
A solução da equação de diferença é
.
Exercícios relacionados
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Calcule as integrais duplas abaixo definidas em regiões não retangulares.
$(b) , onde
é a região limitada pelas curvas
e
.
$(b)