Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença que nos diz como calcular um número da sequência com base no número anterior. O enunciado é:
com a condição inicial . Nosso objetivo é descobrir uma fórmula que nos dê qualquer termo dessa sequência sem precisar calcular todos os anteriores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular alguns termos para tentar identificar um padrão. Já sabemos que:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, temos os termos: 1, 3, 5, 7, 9,…

Passo 3

Observando os valores que encontramos, parece que cada termo aumenta de 2 em 2. Ou seja, a sequência está seguindo a fórmula:
Vamos ver se isso faz sentido!

Passo 4

Vamos verificar se essa fórmula realmente satisfaz a equação de diferença original. Substituímos por na equação:
Calculando o lado direito:
Somando tudo:
Mas , que é igual ao que encontramos! Então, nossa fórmula está certinha.

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
É possível que a equação seja verdadeira, mas ? Explique.
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