Resolva os PVI(f) y' + 2 x y = x, y(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condição inicial. A gente vai usar o método das equações lineares de primeira ordem, que é útil quando a equação está na forma . Aqui, nossa equação é . Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação e achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa equação. Comparando com a forma padrão:
Agora, para encontrar o fator integrante , usamos a fórmula:
Então, vamos calcular essa integral.

Passo 3

Calculando a integral de :
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A equação fica:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
No lado direito, a integral de é:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
A solução geral da equação diferencial é:

Passo 7

Usando a condição inicial , vamos encontrar o valor de :

Resposta

A solução do problema é:

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