Resolva os PVI(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial Diferencial (PVI) que é basicamente uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação que temos é:
A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, comparando com a forma padrão, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante, denotado por
, é dado por:
Substituindo
na fórmula:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para a forma:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 6
A integral
não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a função erro,
. Então, temos:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
na equação:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução do PVI é: