Resolva os PVI(d) y' - 2xy = 5; y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial Diferencial (PVI) que é basicamente uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação que temos é:
A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, comparando com a forma padrão, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante, denotado por mu(x), é dado por:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
Isso simplifica a equação para a forma:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a x:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 6

A integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a função erro, . Então, temos:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Substituindo x = 0 na equação:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução do PVI é:

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