Resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea e com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e suas soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da equação. Ela está na forma padrão:
onde
, então
. Essa é uma equação harmônica simples, que descreve movimentos oscilatórios.
Passo 3
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno. Isso porque as soluções base são funções do tipo:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Substituindo o valor de
que encontramos:
Essa é a solução geral da equação dada, descrevendo todas as possíveis soluções para qualquer condição inicial específica.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Resolva a equação.
Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por
. Determine a posição
, da partícula no instante
discuta o movimento, supondo
e
Determine a solução do problema.
Determine a solução geral.