Determine a solução do problema.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo aqui é de equações diferenciais ordinárias, especificamente equações lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e, em seguida, determinar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A solução geral pode ser encontrada resolvendo o polinômio característico associado.

Passo 3

Formamos o polinômio característico substituindo :
Resolvendo para :

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a primeira condição inicial :
Então, .

Passo 6

Agora, aplicamos a segunda condição inicial . Primeiro, encontramos a derivada de :
Avaliando em :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema é:

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