Determine a solução geral da EDO dada e determine o maior intervalo sobre o qual a solução geral está definida.
(b) x^2 y^prime+x(x+2) y=e^x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) dada e determinar o maior intervalo onde essa solução é válida. A EDO é:
x^2 y' + x(x+2) y = e^x
Vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear: y' + x(x+2)x^2 y = e^xx^2 . Para isso, vamos dividir todos os termos por y' + ( x + 2x ) y = e^xx^2 :
Simplificando:

Passo 3

Agora, identificamos mu(x) = e^integral P(x) dx e . Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Calculando a integral de integral x + 2x dx = integral (1 + 2x) dx = integral 1 dx + 2 integral 1x dx = x + 2 ln|x| + C :
mu(x) = e^x + 2 ln|x| = e^x cdot e^2 ln|x| = e^x cdot |x|^2
Desconsideramos a constante mu(x) = e^x x^2 porque ela será eliminada no processo. Então:
Como estamos trabalhando com positivo (para ser real), podemos simplificar para:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante e^x x^2 y' + e^x x^2 ( x + 2x ) y = e^x x^2 cdot e^xx^2 :
e^x x^2 y' + e^x (x + 2) x y = e^2x
Simplificando os termos:

Passo 6

A equação agora está na forma:
ddx ( mu(x) y ) = Q(x) mu(x)
Portanto, podemos integrar ambos os lados para encontrar integral ddx ( e^x x^2 y ) dx = integral e^2x dx :
e^x x^2 y = e^2x2 + C
Integrando:

Passo 7

Agora, resolvemos para y = e^2x2 + Ce^x x^2 = e^2x2 e^x x^2 + Ce^x x^2 :
y = e^x2 x^2 + C e^-xx^2
Simplificando:

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = e^x2 x^2 + Cx^2 e^-x
Essa solução está definida para todos os diferentes de zero, ou seja, no intervalo .

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