Determine a solução geral das EDOd)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método do fator integrante para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Então, vamos precisar identificar os termos da equação, calcular o fator integrante e aplicar o método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
), que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial por esse fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos calcular as integrais:
- Para
, usamos integração por partes:
- Para
:
Então, substituindo de volta:
Resposta
Isolando
:
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.