Determine a solução geral das EDOd) d s/d t + s/t = cos t + sen t/t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método do fator integrante para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Então, vamos precisar identificar os termos da equação, calcular o fator integrante e aplicar o método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ), que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial por esse fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular as integrais:
  1. Para , usamos integração por partes:
  1. Para :
Então, substituindo de volta:

Resposta

Isolando :
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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