A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de habitantes. Se a população em 1950 era de 50.000 e em 1980 de 75.000, qual a população esperada em 2010?

Passo 1

Então, o que a questão nos pede é descobrir qual será a população de uma cidade em 2010, sabendo que a taxa de crescimento da população é proporcional ao número de habitantes. Isso significa que o crescimento é exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre crescimento exponencial e usar fórmulas matemáticas que relacionam a população ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a fórmula do crescimento exponencial. Quando a taxa de crescimento é proporcional à população, podemos usar a seguinte expressão:
Aqui:
  • é a população no tempo ,
  • é a população inicial,
  • é a constante de crescimento,
  • é o tempo que passou.

Passo 3

Sabemos que em 1950 ( ), a população era de 50.000 habitantes ( ). Em 1980 ( ), a população cresceu para 75.000 habitantes ( ). Vamos usar esses dados para encontrar o valor de .

Passo 4

Calculamos a diferença de tempo entre 1950 e 1980:
Agora, substituímos os valores na fórmula do crescimento exponencial:

Passo 5

Vamos isolar :
Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 6

Agora que temos o valor de , podemos usar a fórmula para prever a população em 2010 ( ). A diferença de tempo desde 1950 é:
Substituímos na fórmula do crescimento exponencial:
Substituindo :

Resposta

A população esperada da cidade em 2010 é de 112.500 habitantes.

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a)
b)
c)
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