A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de habitantes. Se a população em 1950 era de 50.000 e em 1980 de 75.000, qual a população esperada em 2010?
Passo 1
Então, o que a questão nos pede é descobrir qual será a população de uma cidade em 2010, sabendo que a taxa de crescimento da população é proporcional ao número de habitantes. Isso significa que o crescimento é exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre crescimento exponencial e usar fórmulas matemáticas que relacionam a população ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a fórmula do crescimento exponencial. Quando a taxa de crescimento é proporcional à população, podemos usar a seguinte expressão:
Aqui:
-
é a população no tempo , -
é a população inicial, -
é a constante de crescimento, -
é o tempo que passou.
Passo 3
Sabemos que em 1950 (
), a população era de 50.000 habitantes (
). Em 1980 (
), a população cresceu para 75.000 habitantes (
). Vamos usar esses dados para encontrar o valor de
.
Passo 4
Calculamos a diferença de tempo entre 1950 e 1980:
Agora, substituímos os valores na fórmula do crescimento exponencial:
Passo 5
Vamos isolar
:
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, podemos usar a fórmula para prever a população em 2010 (
). A diferença de tempo desde 1950 é:
Substituímos na fórmula do crescimento exponencial:
Substituindo
:
Resposta
A população esperada da cidade em 2010 é de 112.500 habitantes.
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Determine a solução geral das EDOd)
Escreva a equação em coordenadas esféricas:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Suponha que um corpo, descoberto à meia-noite, tenha temperatura de
e que a temperatura ambiente seja constante e igual a
. O corpo é removido rapidamente (faça a hipótese da instantaneidade) para o necrotério onde a temperatura ambiente é
. Depois de uma hora a temperatura do corpo é de
. Estime a hora da morte.
Encontre as assíntotas verticais
.