Suponha que um corpo, descoberto à meia-noite, tenha temperatura de
e que a temperatura ambiente seja constante e igual a
. O corpo é removido rapidamente (faça a hipótese da instantaneidade) para o necrotério onde a temperatura ambiente é
. Depois de uma hora a temperatura do corpo é de
. Estime a hora da morte.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura de um corpo encontrado à meia-noite e como ela mudou ao longo do tempo em diferentes ambientes. A matéria envolvida aqui é a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda em relação à temperatura do ambiente. Para resolver isso, vamos precisar usar essa lei e algumas equações matemáticas simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a Lei de Resfriamento de Newton diz. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura ambiente. -
é a constante de resfriamento. -
é a taxa de variação da temperatura.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular quanto tempo levou para o corpo esfriar de 37°C (temperatura normal do corpo) para 29,4°C no ambiente de 21,1°C. Podemos resolver a equação diferencial da Lei de Resfriamento para encontrar esse tempo.
A solução da equação é:
Onde:
-
é a temperatura inicial ( ).
Rearranjando para encontrar
:
Passo 4
Vamos aplicar os valores para o primeiro ambiente:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, quando o corpo foi movido para o necrotério, a temperatura ambiente mudou para 4,4°C. Sabemos que uma hora depois, a temperatura do corpo era 15,6°C. Vamos usar a mesma fórmula para essa nova situação:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, podemos voltar para o cálculo de
:
Isso significa que levou aproximadamente 0,814 horas (ou cerca de 49 minutos) para o corpo esfriar de 37°C para 29,4°C no ambiente de 21,1°C.
Passo 7
Sabemos que o corpo foi encontrado à meia-noite após ter sido movido para o necrotério uma hora antes. Então, voltando o tempo:
Meia-noite menos 1 hora = 23:00
E o tempo que o corpo levou para esfriar até 29,4°C foi de aproximadamente 49 minutos antes das 23:00.
Então, a hora da morte foi:
23:00 - 0:49 ≈ 22:11
Resposta
A hora da morte foi aproximadamente às 22 horas e 11 minutos.
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