Escreva a equação em coordenadas esféricas:
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três equações em coordenadas cartesianas e precisamos reescrevê-las em coordenadas esféricas. Pra fazer isso, vamos usar as fórmulas de conversão que ligam , , com , , e . Vamos precisar entender essas relações e aplicar elas em cada equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas:
Além disso, sabemos que . Essas relações vão nos ajudar a substituir e simplificar as equações.
Passo 3
Vamos começar com a parte a):
a)
Substituindo as fórmulas de conversão:
Simplificando:
Como :
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Portanto:
Isso nos dá que ou (em radianos, ou ).
Passo 4
Agora, vamos para a parte b):
b)
Substituindo:
Simplificando:
Podemos fatorar :
Essa é a equação em coordenadas esféricas para a parte b). Dependendo do contexto, pode ser deixada assim ou resolvida para :
Passo 5
Finalmente, vamos para a parte c):
c)
Primeiro, completamos o quadrado para a variável :
Então:
Agora, substituindo:
Expandindo e simplificando:
Agrupando termos com :
Como :
E :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Fatorando :
Então, ou ou . Ignorando (que é apenas o ponto de origem), temos: