Nos problemas a seguir, verifique que a função dada é solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de solução apropriado.
d)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
E uma função proposta:
A tarefa é verificar se essa função é de fato uma solução dessa equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de e substituir na equação para ver se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . A função é o produto de e , então usamos a regra do produto.
Lembre-se que a derivada de um produto é:
Aqui, temos:

Passo 3

Calculando as derivadas individuais:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
    Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é .

Passo 4

Então, derivando :
Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas encontradas na regra do produto:
Simplificando:
E como , temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Derivamos :
A derivada de é , então:
Mais uma vez, usamos a regra do produto:
Já sabemos que , e .

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
Agora, somamos com para verificar a equação diferencial:
Os termos com se cancelam:

Resposta

Concluímos que:
Portanto, a função é, de fato, uma solução explícita da equação diferencial .

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c)
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a)
b)
c)
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