Nos problemas a seguir, verifique que a função
dada é solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de solução apropriado.
d)
d)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
E uma função proposta:
A tarefa é verificar se essa função
é de fato uma solução dessa equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e substituir na equação para ver se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. A função é o produto de
e
, então usamos a regra do produto.
Lembre-se que a derivada de um produto
é:
Aqui, temos:
Passo 3
Calculando as derivadas individuais:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: Para derivar, usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 4
Então, derivando
:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas encontradas na regra do produto:
Simplificando:
E como
, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Derivamos
:
A derivada de
é
, então:
Mais uma vez, usamos a regra do produto:
Já sabemos que
, e
.
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Agora, somamos
com
para verificar a equação diferencial:
Os termos com
se cancelam:
Resposta
Concluímos que:
Portanto, a função
é, de fato, uma solução explícita da equação diferencial
.
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c)
c)
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a)
b)
c)
a)
b)
c)
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