Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO x'' + 16 x = 0 possui alguma solução:
a) x(0) = 0, x(pi/2) = 0;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos verificar para quais condições de contorno dadas a Equação Diferencial Ordinária (EDO) possui solução. Assim, vamos resolver a EDO e aplicar as condições de contorno fornecidas: e .

Passo 2

Vamos resolver a EDO . Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica associada é . Resolvendo para :

Passo 3

Com raízes complexas , a solução geral da EDO é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicamos a primeira condição de contorno :

Passo 5

Com , a solução fica:
Aplicamos a segunda condição de contorno :

Passo 6

A segunda condição de contorno nos dá , o que é sempre verdadeiro, independentemente do valor de . Isso significa que pode ser qualquer número real.

Resposta

A EDO possui soluções da forma , onde é uma constante real. Portanto, existem infinitas soluções que satisfazem as condições de contorno e .

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