Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO possui alguma solução:
a) ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos verificar para quais condições de contorno dadas a Equação Diferencial Ordinária (EDO) possui solução. Assim, vamos resolver a EDO e aplicar as condições de contorno fornecidas: e .

Passo 2

Vamos resolver a EDO . Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica associada é . Resolvendo para :

Passo 3

Com raízes complexas , a solução geral da EDO é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicamos a primeira condição de contorno :

Passo 5

Com , a solução fica:
Aplicamos a segunda condição de contorno :

Passo 6

A segunda condição de contorno nos dá , o que é sempre verdadeiro, independentemente do valor de . Isso significa que pode ser qualquer número real.

Resposta

A EDO possui soluções da forma , onde é uma constante real. Portanto, existem infinitas soluções que satisfazem as condições de contorno e .

Exercícios relacionados

Nos exercícios, (a) expresse e como funções de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois (b) calcule e no ponto dado .
no ponto .
Resolver as seguintes equações diferenciais:
h) .
Suponha que sejam soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem com coeficientes constantes e que . O conjunto de soluções é linearmente dependente ou linearmente independente em ? Justifique.
Determine a solução geral das EDOf)