Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO
possui alguma solução:
a)
;
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos verificar para quais condições de contorno dadas a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
possui solução. Assim, vamos resolver a EDO e aplicar as condições de contorno fornecidas:
e
.
Passo 2
Vamos resolver a EDO
. Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica associada é
. Resolvendo para
:
Passo 3
Com raízes complexas
, a solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 4
Aplicamos a primeira condição de contorno
:
Passo 5
Com
, a solução fica:
Aplicamos a segunda condição de contorno
:
Passo 6
A segunda condição de contorno nos dá
, o que é sempre verdadeiro, independentemente do valor de
. Isso significa que
pode ser qualquer número real.
Resposta
A EDO
possui soluções da forma
, onde
é uma constante real. Portanto, existem infinitas soluções que satisfazem as condições de contorno
e
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios, (a) expresse
e
como funções de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.
Resolver as seguintes equações diferenciais:
h) .
h)
Suponha que
sejam
soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes e que
. O conjunto de soluções
é linearmente dependente ou linearmente independente em
? Justifique.
Determine a solução geral das EDOf)