Determine a solução geral das EDOs lineares de
ordem abaixo:
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos que determinar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
Para resolver essa equação, vamos utilizar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver EDOs lineares.
Passo 2
Vamos reescrever a equação na forma padrão das EDOs lineares de primeira ordem:
onde, no nosso caso:
Passo 3
O próximo passo é determinar o fator integrante (
), que nos ajudará a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de
:
Portanto,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação pode ser escrito como a derivada do produto de
e
:
Isso acontece porque:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
o que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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