Determine a solução geral das EDOs lineares de 1^a ordem abaixo: dy/dx - 2xy = 2e^(x^2);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos que determinar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
Para resolver essa equação, vamos utilizar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver EDOs lineares.

Passo 2

Vamos reescrever a equação na forma padrão das EDOs lineares de primeira ordem:
onde, no nosso caso:

Passo 3

O próximo passo é determinar o fator integrante ( mu(x)), que nos ajudará a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de P(x):
Portanto,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
Simplificando o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação pode ser escrito como a derivada do produto de mu(x) e y:
Isso acontece porque:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
o que resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante arbitrária.

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