Determine a solução geral das equações homogêneas de
ordem abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial homogênea de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que são equações homogêneas e como resolver equações diferenciais de primeira ordem usando substituições apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma mais fácil de trabalhar. Vamos rearranjar os termos:
Agora, dividimos ambos os lados por
Simplificando:
Passo 3
Agora, reconhecemos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma:
No nosso caso,
Passo 4
O fator integrante,
, é dado por:
Vamos calcular a integral de
Integrando termo a termo:
Desconsideramos a constante
Passo 5
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação diferencial original pelo fator integrante:
Como
Integrando ambos os lados:
Onde
Passo 6
Substituímos
de volta na equação:
Isolando
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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