Determine a solução geral das equações homogêneas de 1^a ordem abaixo: x^3 y^2 dy - (x^2 + 1) y^3 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial homogênea de primeira ordem:

Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que são equações homogêneas e como resolver equações diferenciais de primeira ordem usando substituições apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma mais fácil de trabalhar. Vamos rearranjar os termos:

Agora, dividimos ambos os lados por para isolar dy/dx:
Simplificando:

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma:

No nosso caso, e . Vamos usar um fator integrante para resolver essa equação.

Passo 4

O fator integrante, mu(x), é dado por:

Vamos calcular a integral de P(x):
Integrando termo a termo:

Desconsideramos a constante C para o fator integrante:

Passo 5

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação diferencial original pelo fator integrante:

Como , a equação se simplifica para:
Integrando ambos os lados:

Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos mu(x) de volta na equação:

Isolando y:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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