Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem homogênea: . Isso significa que vamos mexer com um pouco de cálculo diferencial, especificamente com equações lineares de primeira ordem. Vamos precisar rearranjar a equação e aplicar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por :
Reorganizando, temos:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação:
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Isolando , a solução geral da equação é:

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