Determine a solução geral das equações homogêneas de
ordem abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem homogênea:
. Isso significa que vamos mexer com um pouco de cálculo diferencial, especificamente com equações lineares de primeira ordem. Vamos precisar rearranjar a equação e aplicar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por
:
Reorganizando, temos:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Isolando
, a solução geral da equação é:
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