Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo:

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea:
Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos usar conceitos de equações homogêneas e técnicas de substituição para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
Isso facilita identificar que tipo de equação estamos lidando.

Passo 3

Observando a equação, percebemos que ela é do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Aqui, , e .

Passo 4

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição . Como , então:
Calculamos a derivada de em relação a :
Substituindo na equação original:
Multiplicando toda a equação por para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 5

Vamos resolver a equação linear:
Primeiro, identificamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para :
Lembrando que , temos:
Invertendo para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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