Determine a solução geral das equações homogêneas de
ordem abaixo:
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea:
Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos usar conceitos de equações homogêneas e técnicas de substituição para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
Isso facilita identificar que tipo de equação estamos lidando.
Passo 3
Observando a equação, percebemos que ela é do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição
. Como
, então:
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Substituindo na equação original:
Multiplicando toda a equação por
para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em termos de
.
Passo 5
Vamos resolver a equação linear:
Primeiro, identificamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Invertendo para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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.
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;