Determine a solução geral das EDOs lineares de 1^a ordem abaixo: y' = x^3 - 2 x y;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
Isso significa que vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs lineares, como o fator integrante.

Passo 2

Vamos reescrever a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a equação dada, temos:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar o fator integrante, que é dado por:
Nesse caso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo se transforma na derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Isso resulta em:
Para resolver a integral à direita, utilizamos a técnica de integração por partes. Seja:
Aplicando a integração por partes:
A última integral é:
Então:

Passo 6

Agora, resolvemos para y dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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